¿Cuándo aplicar la hipótesis de pequeñas deformaciones? (Parte III)

En esta última entrada dedicada al cálculo de estructuras daremos finalmente respuesta a la pregunta "¿Cuándo podemos aplicar la hipótesis de pequeñas deformaciones?", y por si alguien se esta ponieno nervioso ya con tanta ecuación, voy a empezar la casa por el tejado y os voy a dar directamente la receta:

Esta pequeña tabla que he confecionado es todo lo que necesitas para saber si con la hipótesis de las pequeñas deformaciones los resultados obtenidos en tu cálculo serán o no lo suficiente precisos. 
La tabla está diseñada a partir del caso de viga empotrada en voladizo con una carga  puntual en su extremo y sus resultados se pueden considerar del lado de la seguridad respecto a otros sistemas estructurales, obteniendo en cualquier caso un error menor.

Pero si no me crees, puedes seguir leyendo y comprobar por ti mismo de donde ha salido esta bonita tabla. 


Recapitulando un poco, en la entrada anterior (Parte II) habiamos establecido EDO y las condiciones de contorno que definen la deformada de una viga sin considerar la hipótesis de pequeñas deformaciones. Sin embargo, por su complejidad, no la habiamos llegado a resolver.

Antes de ponernos a resolver la ecuación (numérica o analíticamente) como locos sería conveniente tener una idea de que forma puede tener esta, la cual deduciremos con ayuda del Teorema Pi de Buckingham. 

Para ello tendremos que definir el número de variables que pensamos van a influir en el problema y el número de dimensiones. En nuestro caso, nos encontramos con 5 variables {E, I, L, P, Ymax}, (que se pueden descomponer en dimensiones de Longitud y Fuerza) y 3 dimensiones básias {Longitud, Masa, Tiempo}.

Según el Teorema Pi de Buckingham podremos formar 5-3=2 monomios adimensionales (A y B), los cuales estarán relacionados según una formula del tipo A=f(B). En nuestro caso, hemos formado los siguientes monomios:

De forma que la solución de nuestro problema es de la forma:

Lo interesante de este resultado es que hemos demostrado que existe un único parámetro que nos permite generalizar el comportamiento de la viga para grandes deformaciones. Este parámetro, al que llamaremos "alfa", nos permitirá definir la frontera de validez de la hipótesis de pequeñas deformaciones:

Para el caso de pequeñas deformaciones se puede observar como la flecha máxima de la viga en voladizo sigue una expresión equivalente,  ya que en dicho problema participan las mismas magnitudes y dimensiones:

  

Ya que ambas expresiones dependen del mismo parámetro "alfa", podremos compararlas y estudiar el valor de dicho parámetro a partir del cual las diferencias en los resultados comienzan a ser apreciables. Como ya comentamos anteriormente, la resolución simbólica de la flecha para el caso de grandes deformaciones puede resultar algo compleja y, aunque se puede hacer, yo he preferido resolver el problema de forma numérica con ayuda del programa Wolfram Mathematica.

El procedimiento que he seguido ha sido realizar un cambio de variable para dejar la EDO de la deformada en función de "L" y "alfa", para después fijar un valor de "L" y calcular su solución para distintos valores de "alfa", ya que esta solo depende de dicho parámetro.
 

 

Tras resolver esta ecuación para los distintos valores de "alfa”, he calculado la flecha máxima Ymax en el extremo del voladizo por simple integración numérica de la expresión:

El código que he empleado para la resolución es el siguiente y como siempre lo podéis descargar desde este enlace:

De esta forma he podido obtener los pares de puntos {alfa , Ymax/L} que definen la curva para el caso de grandes deformaciones (en naranja punteado) y compararla con el caso de pequeñas deformaciones (en azul).

Como se puede observar en el caso de pequeñas deformaciones el error incurrido es por exceso, es decir, las deformaciones obtenidas son mayores que si consideráramos grandes deformaciones, por lo que en cualquier caso estamos trabajando del lado de la seguridad siempre que consideremos la hipótesis de pequeñas deformaciones. El error cometido al emplear la hipótesis de pequeñas deformaciones se puede calcular como la diferencia entre la flecha obtenida con la hipótesis de pequeñas deformaciones y la obtenida sin considerar dicha hipótesis, dividido entre esta última.

El valor del parámetro "alfa” que límita la frontera entre pequeñas y grandes deformaciones dependerá del margen de error que estemos dispuestos a admitir. El procedimiento a seguir, y que queda reflejado en la tabla resumen proporcionada al principio, será establecer un margen de error absoluto admisible. 

Con este error absoluto y una estimación de la flecha máxima podemos calcular el error relativo en % y entrando en la gráfica obtener el valor de "alfa" correspondiente.

Y así es como podemos saber como de pequeñas tienen que ser las deformaciones para poder ser consideradas "pequeñas". Aunque algunas cosas, las mires como las mires,siempre van a ser pequeñas.

Parte II

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